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TUs紅軟基地
《概率論與數理統(tǒng)計教程》    （第四版）TUs紅軟基地
高等教育出版社 TUs紅軟基地
                 沈恒范 著TUs紅軟基地
第一章 隨機事件及其概率TUs紅軟基地
學習內容TUs紅軟基地
§1.1    隨機事件及樣本空間TUs紅軟基地
§1.2    概率的幾種定義TUs紅軟基地
§1.3    事件的關系及運算TUs紅軟基地
§1.4    概率加法定理TUs紅軟基地
§1.5    條件概率·概率乘法定理TUs紅軟基地
§1.6    全概率公式與貝葉斯公式TUs紅軟基地
§1.7    隨機事件的獨立性TUs紅軟基地
§1.8    獨立試驗序列TUs紅軟基地
§1.1 隨機事件及其樣本空間TUs紅軟基地
隨機事件TUs紅軟基地
樣本空間TUs紅軟基地
一、隨機事件TUs紅軟基地
（1）隨機現象TUs紅軟基地
        自然現象和社會現象可分為兩大類，一類是確定現象，另一類是隨機現象。TUs紅軟基地
        隨機現象的統(tǒng)計規(guī)律性，概率與數理統(tǒng)計就是揭示和應用隨機現象統(tǒng)計規(guī)律的一門學科。TUs紅軟基地
（2）隨機試驗與隨機事件TUs紅軟基地
              為了研究隨機現象，就要對客觀事物進行觀察，觀察的過程稱為實驗。試驗通常用E表示。TUs紅軟基地
實例TUs紅軟基地
例1 E1 ：擲一枚質地均勻的硬幣，觀察它出現正面和反面；TUs紅軟基地
例2  E2：擲一枚質地均勻的骰子，觀察它出現的點數；TUs紅軟基地
例3  E3：記錄某電話交換臺一小時內接到的呼喚次數；TUs紅軟基地
例4  E4：一射手進行射擊，直到擊中目標為止，觀察他的射擊情況；TUs紅軟基地
例5  E5：在一批燈泡里，任取一只，測試它的壽命。 。TUs紅軟基地
上面五個實驗有以下的共同特性：TUs紅軟基地
 （a）可以在相同的條件下重復進行；TUs紅軟基地
  （b）每次試驗的可能結果不止一個，但事先明確試驗的所有可能結果；TUs紅軟基地
  （c）每次試驗之前不能確定哪一個結果會出現。TUs紅軟基地
    我們把具有上述三個特性的試驗稱為隨機試驗。TUs紅軟基地
關于事件的基本概念TUs紅軟基地
事件：隨機試驗的每一個可能結果(任何樣本點集合)，通常用字母A、B，、、、表示。TUs紅軟基地
例如：擲一枚骰子出現的點數為3TUs紅軟基地
隨機事件：每次試驗可能出現也可能不出現的事件TUs紅軟基地
例如：擲一枚骰子可能出現的點數TUs紅軟基地
必然事件：每次試驗一定出現的事件，用U 表示TUs紅軟基地
例如：擲一枚骰子出現的點數小于7TUs紅軟基地
不可能事件：每次試驗一定不出現的事件，用V 表示TUs紅軟基地
例如：擲一枚骰子出現的點數大于6TUs紅軟基地
二、樣本空間TUs紅軟基地
基本的概念TUs紅軟基地
        試驗的結果中每一個可能發(fā)生的事件叫做試TUs紅軟基地
驗的樣本點。通常用字母   表示。TUs紅軟基地
（解釋基本事件）TUs紅軟基地
       試驗的所有樣本點                         構成的集合TUs紅軟基地
叫做樣本空間，通常用字母    表示，所以，我們TUs紅軟基地
有TUs紅軟基地
三   隨機事件與樣本空間的關系TUs紅軟基地
        隨機事件或是基本事件，或是復合事件，因此隨機事件是樣本空間的子集。我們說事件發(fā)生是事件中的一個基本事件發(fā)生；反過來，如果某事件中的一個基本事件發(fā)生，則該事件發(fā)生。TUs紅軟基地
        任一隨機事件都是樣本空間的子集，該子集中任一樣本點發(fā)生時事件即發(fā)生。由于樣本空間中任一樣本點發(fā)生時，必然事件都發(fā)生，所以必然事件是所有樣本點構成的集合；這就是說，必然事件就是樣本空間TUs紅軟基地
       由于樣本空間中任一樣本點發(fā)生時，不可能事件都不發(fā)生，所以不可能事件不包含任何樣本點，即不可能事件是空集。TUs紅軟基地
§1.2 頻率、概率統(tǒng)計定義及古典概型TUs紅軟基地
主要內容TUs紅軟基地
                                  一、概率的統(tǒng)計定義TUs紅軟基地
                                 二、概率的古典定義— TUs紅軟基地
                                                      古典概型                          TUs紅軟基地
一、頻率、概率的統(tǒng)計定義TUs紅軟基地
        如果在相同的條件下將試驗E重復進行了n次，其中隨TUs紅軟基地
機事件A恰好發(fā)生了m次，則比值m/n稱為事件A發(fā)生的相TUs紅軟基地
對頻率，簡稱頻率。 m 又稱為事件A發(fā)生的頻數。 記為              TUs紅軟基地
                                                                       （2.1)         TUs紅軟基地
頻率的基本性質：TUs紅軟基地
a. 對任一事件A，有 0≤        ≤1;    TUs紅軟基地
b.          =1;TUs紅軟基地
c.           =0.TUs紅軟基地
      能否用頻率表示事件發(fā)生的可能性大�。�TUs紅軟基地
頻率的穩(wěn)定性TUs紅軟基地
試驗演示TUs紅軟基地
事件的概率（實例）TUs紅軟基地
       例如，投擲一枚硬幣，觀察正面出現的頻率，隨著投擲次數 n 的增大，出現正面和反面的頻率穩(wěn)定在1/2左右TUs紅軟基地
概率的統(tǒng)計定義TUs紅軟基地
事件A的概率是對事件A在試驗中出現的可能性大小的一種度量TUs紅軟基地
隨著重復試驗次數的增多，隨機事件A的頻率TUs紅軟基地
       圍繞某一常數p上下擺動，且波動的幅度逐漸減小，趨向于穩(wěn)定，這個頻率的穩(wěn)定值(常數p) 表示了事件A在試驗中發(fā)生的可能性大小，將這個介于0和1之間的數p稱為事件A的概率(Probability )，記作TUs紅軟基地
概率的基本性質TUs紅軟基地
     a. 對任一事件A，有 0≤P(A)≤1;    TUs紅軟基地
     b. P(U)=1;TUs紅軟基地
     c. P(V)=0.TUs紅軟基地
概率的統(tǒng)計定義（備注）TUs紅軟基地
概率的統(tǒng)計定義給出了一個近似計算隨機事件A的概率的方法：   當試驗次數n充分大時，可用隨機事件A的頻率        作為隨機事件A的概率P(A) 的近似值。TUs紅軟基地
概率的統(tǒng)計定義（實例）TUs紅軟基地
【例6】：某工廠為節(jié)約用電，規(guī)定每天的用電量指標TUs紅軟基地
為1000度。按照上個月的用電記錄，30天中有12天的TUs紅軟基地
用電量超過規(guī)定指標，若第二個月仍沒有具體的節(jié)電TUs紅軟基地
措施，試問該廠第一天用電量超過指標的概率。    TUs紅軟基地
二、概率的古典定義TUs紅軟基地
由于用概率的統(tǒng)計定義很難求出事件的概率，故人們想TUs紅軟基地
到在一些比較簡單的情況下，用某種特殊的手段求出某TUs紅軟基地
些事件的概率。TUs紅軟基地
概率的古典定義TUs紅軟基地
設試驗的樣本空間總共有N個等可能的基本事件，其中有且僅有M個是包含于隨機事件A的，則隨機事件A所包含的基本事件數M與基本事件總數N的比值叫做隨機事件A的概率，記作TUs紅軟基地
(2.18)    TUs紅軟基地
概率的古典定義（備注）TUs紅軟基地
㈠古典概型的判斷方法，TUs紅軟基地
㈡古典概率的計算步驟：TUs紅軟基地
　　　　　　　TUs紅軟基地
�、倥�清試驗與樣本點TUs紅軟基地
　　TUs紅軟基地
�、跀登鍢颖究臻g與隨機事件中的樣本點數TUs紅軟基地
③列出比式進行計算�！　　　　　　　　　　　�TUs紅軟基地
　　　　　　　　　　　　TUs紅軟基地
概率的古典定義（實例）TUs紅軟基地
【例7】從一批由9件正品，3件次品組成的產品中，TUs紅軟基地
        （1）一次抽取5件，求其中恰有兩件次品的概率；TUs紅軟基地
        （2）無放回地抽取5次，每次抽1件，求其中恰有兩件次品的概率；TUs紅軟基地
        （3）有放回地抽取5次，每次抽1件，求其中恰有兩件次品的概率。TUs紅軟基地
計算結果TUs紅軟基地
解:(1)設所求事件的概率為P(A)，顯然基本事件總數為    ，A包含的基本事件數為       ，所以TUs紅軟基地
（2）設所求事件的概率為P(B)，因為考慮順序，所以基本事件總數為      ，B包含的基本事件數為          ，所以TUs紅軟基地
（3）設所求事件的概率為P(C)，  基本事件總數    ，C包含的基本事件數               ，所以TUs紅軟基地
課堂練習TUs紅軟基地
一、  袋內有a個白球與b個黑球，每次從袋中任取一個球，取出的球不再放回去，接連取k個球，（k    a+b），求第k次取得白球的概率。TUs紅軟基地
二、  將15名新生隨機地平均分配到三個班級中去，這15名新生中有3名是優(yōu)秀生問：TUs紅軟基地
（1）每個班級各分配到一名優(yōu)秀生的概率是多少？TUs紅軟基地
（2）3名優(yōu)秀生分配在同一班級的概率是多少？TUs紅軟基地
§1.3  事件的關系及運算TUs紅軟基地
事件的關系和運算TUs紅軟基地
事件的包含TUs紅軟基地
事件的并或和TUs紅軟基地
事件的交或積TUs紅軟基地
互斥事件TUs紅軟基地
對立事件TUs紅軟基地
事件的差TUs紅軟基地
完備事件組TUs紅軟基地
事件的運算性質TUs紅軟基地
事件的關系和運算（事件的包含）TUs紅軟基地
事件的關系和運算（事件的并或和）TUs紅軟基地
事件的關系和運算（事件的交或積）TUs紅軟基地
事件的關系和運算（互斥事件）TUs紅軟基地
事件的關系和運算（對立事件）TUs紅軟基地
事件的關系和運算（事件的差）TUs紅軟基地
事件的關系和運算（完備事件組）TUs紅軟基地
         如果n個事件中至少有一個事件一定發(fā)生，TUs紅軟基地
則稱這n個事件構成完備事件組。TUs紅軟基地
設n個事件                     滿足下面的式子：TUs紅軟基地
事件與集合的對應關系TUs紅軟基地
事件的關系和運算TUs紅軟基地
    例8  從一批產品中每次取出一個產品進行檢驗（每次取出的產品不放回），事件     表示 第   次取到合格品；試用事件的運算符號表示下列事件：TUs紅軟基地
三次中都取到了合格品；TUs紅軟基地
                             三次中至少有一次取到合格品；TUs紅軟基地
                             三次中恰有兩次取到了合格品；TUs紅軟基地
                             三次中最多有一次取到合格品。TUs紅軟基地
事件的關系和運算（實例）TUs紅軟基地
例9   拋一粒骰子，觀察出現的點數。以TUs紅軟基地
      A 表示事件“點數小于4”；TUs紅軟基地
      B 表示事件“點數大于2”；TUs紅軟基地
      C 表示事件“點數為奇數”。TUs紅軟基地
事件的運算性質TUs紅軟基地
 設A、B、C為三個事件，則有TUs紅軟基地
逆事件TUs紅軟基地
分配律TUs紅軟基地
事件的運算性質TUs紅軟基地
和事件的逆TUs紅軟基地
積事件的逆TUs紅軟基地
§1.4 概率加法定理TUs紅軟基地
互斥事件的概率加法定理TUs紅軟基地
定理1，2TUs紅軟基地
推論1，2，3TUs紅軟基地
一般的概率加法定理TUs紅軟基地
定理3，4TUs紅軟基地
加法定理1TUs紅軟基地
  定理1TUs紅軟基地
      兩個互斥（互不相容）事件之和的概率，等于兩個事件概率之和。設A和B為兩個互斥事件，則TUs紅軟基地
            P ( A＋B ) = P ( A ) + P ( B )TUs紅軟基地
證明TUs紅軟基地
        （概率的古典定義）TUs紅軟基地
加法定理2TUs紅軟基地
  定理2TUs紅軟基地
      有限個互不相容事件之和的概率，等于這些事件概率之和。設事件A1，A2，…，An兩兩互斥，則有TUs紅軟基地
           P ( A1＋A2 ＋… ＋An) TUs紅軟基地
           = P ( A1 ) + P (A2 ) + …+ P (An )TUs紅軟基地
推  論TUs紅軟基地
推論1TUs紅軟基地
      如果事件A1，A2，…，An構成互不相容的完備事件組，則這些事件的概率之和等于一：TUs紅軟基地
           P ( A1 ) + P (A2 ) + …+ P (An )＝1TUs紅軟基地
推論2TUs紅軟基地
      對立事件的概率之和等于一：TUs紅軟基地
               P ( A ) + P (A)＝1TUs紅軟基地
推論3TUs紅軟基地
    如果            則                以及TUs紅軟基地
概率加法定理（實例1）TUs紅軟基地
加法定理3TUs紅軟基地
  定理3TUs紅軟基地
      對任意兩個隨機事件A和B，它們和的概率為兩個事件的概率之和減去兩個事件交的概率，即TUs紅軟基地
    P ( A∪B ) = P ( A ) + P ( B ) - P ( A∩B ) TUs紅軟基地
證明：TUs紅軟基地
     （ 將A∪B分解為互斥事件的和 ）TUs紅軟基地
加法定理4TUs紅軟基地
  定理4TUs紅軟基地
      任意有限個隨機事件的和的概率可按下列公式計算：TUs紅軟基地
概率加法定理TUs紅軟基地
課 堂 練 習TUs紅軟基地
AB=φ，P(A)=0.6，P(A∪B)=0.8，TUs紅軟基地
      求 B的逆事件的概率。TUs紅軟基地
設事件A發(fā)生的概率是0.6，A與B都發(fā)生的概率是0.1，A 與B 都 不發(fā)生 的概率為 0.15 ，TUs紅軟基地
      求 A 發(fā)生B不發(fā)生的概率；TUs紅軟基地
           B 發(fā)生A不發(fā)生的概率及P(A∪B).TUs紅軟基地
§1.6條件概率·  概率乘法定理TUs紅軟基地
條件概率TUs紅軟基地
乘法公式TUs紅軟基地
條件概率TUs紅軟基地
在事件B已經發(fā)生的條件下，求事件A發(fā)生的概率，稱這種概率為事件B發(fā)生條件下事件A發(fā)生的條件概率，記為TUs紅軟基地
證明  見課本P21定理1TUs紅軟基地
條件概率的圖示TUs紅軟基地
條件概率（備注）TUs紅軟基地
    (1) 區(qū)別P(B|A)與P(AB);TUs紅軟基地
    (2) P(B| )=P(B);   P(B|B)=1;  TUs紅軟基地
    (3) 若AB1， AB2互不相容，則有:TUs紅軟基地
            P(B1∪B2|A)=P(B1|A)+P(B2|A);   TUs紅軟基地
    (4) P(   |A)=1-P(B|A)TUs紅軟基地
概率的乘法公式TUs紅軟基地
用來計算兩事件交的概率TUs紅軟基地
以條件概率的定義為基礎TUs紅軟基地
（定理2）設A、B為兩個事件，TUs紅軟基地
      若P(B)>0，則P(AB)=P(B)P(A|B)，TUs紅軟基地
      若P(A)>0，則P(AB)=P(A)P(B|A)，TUs紅軟基地
       若P(A)>0， P(B)>0，  則 TUs紅軟基地
            P(AB)=P(A)P(B|A) =P(B)P(A|B)TUs紅軟基地
乘法公式的推廣TUs紅軟基地
概率的乘法公式（實例）TUs紅軟基地
計算結果TUs紅軟基地
解:  (1) 將n個座位分別編上號碼1，2，、、n，第一天坐在號碼為K的座位上的學生叫做第k個學生，以   表示事件第k個學生第二天上課時仍入座第一天位置上，k=1，2，、、、n， 則TUs紅軟基地
此題也可簡單的考慮，即n個學生入座n個座位共 種方法，而n個學生恰好再入座第一天的位置僅一法，故TUs紅軟基地
（2）因為任一學生都等可能的坐到第k 個座位上，故正好編號為k的學生坐到第k個座位上的概率                  （k=1，2，、、n） ， 而至少有一個學生入座第一天位置上這一事件便是TUs紅軟基地
從而TUs紅軟基地
§1.6全概率公式與貝葉斯公式TUs紅軟基地
全概率公式TUs紅軟基地
貝葉斯公式TUs紅軟基地
全概公式TUs紅軟基地
 設事件A1，A2，…，An兩兩互斥，  A1+A2+…+ An=TUs紅軟基地
    (互不相容的完備事件組)，且P(Ai)>0(i=1，2， …，n)，TUs紅軟基地
    則對任意事件B，有TUs紅軟基地
貝葉斯公式（逆概率公式）TUs紅軟基地
與全概公式解決的問題相反，貝葉斯公式是建立在條件概率的基礎上尋找事件發(fā)生的原因TUs紅軟基地
設n個事件A1，A2，…，An 兩兩互斥， A1+A2+…+ An= (互不相容的完備事件組) ，且P(Ai)>0(i=1，2， …，n)，則TUs紅軟基地
貝葉斯公式（備注）TUs紅軟基地
貝葉斯公式（實例）TUs紅軟基地
§1.8  隨機事件的獨立性TUs紅軟基地
兩個事件的獨立性TUs紅軟基地
有限個事件的獨立性TUs紅軟基地
兩個事件的獨立性TUs紅軟基地
有限個事件的獨立性TUs紅軟基地
定義  n個事件A1， A2 ， … ， An相互獨立，如果其中的任一事件Ai(i=1，2， …，n)與其它任意幾個事件的積事件是獨立的，即TUs紅軟基地
其中， m=1， 2， …， n-1TUs紅軟基地
      當m=1時，稱n個事件兩兩獨立TUs紅軟基地
事件的獨立性（實例）TUs紅軟基地
事件的獨立性（備注）TUs紅軟基地
§1.9  獨立試驗序列TUs紅軟基地
獨立試驗序列TUs紅軟基地
二項分布TUs紅軟基地
獨立試驗序列TUs紅軟基地
獨立試驗序列滿足：TUs紅軟基地
每次試驗只有兩個結果：A或A；TUs紅軟基地
每次試驗中每個結果出現的概率不變；TUs紅軟基地
各次試驗之間相互獨立；TUs紅軟基地
在相同條件下，試驗可以重復進行。TUs紅軟基地
二項分布TUs紅軟基地
   二項定理：TUs紅軟基地
    如果在獨立試驗序列中，事件A發(fā)生的概率為p(0< p <1)，則在n次試驗中事件A恰發(fā)生m次的概率為TUs紅軟基地
舉例TUs紅軟基地
例24 甲乙兩個乒乓球運動員進行乒乓球單打比賽，已知每一局甲勝的概率為0.6，乙勝的概率為0.4，比賽時，可采用三局二勝制或五局三勝制，問在哪一種比賽制度下，甲獲勝的可能性比較大？TUs紅軟基地
例25  保險事業(yè)是最早使用概率論的部門之一，保險公司為了估計企業(yè)的利潤，需要計算各種各樣的概率，下面的典型問題之一，若一年中，某類保險者里面每個人死亡的概率等于0.005，現有10000個這類人參加保險，試求在未來一年中這些保險里面，（1）有40個人死亡的概率；（2）死亡人數不超過70個的概率。TUs紅軟基地
本章小結TUs紅軟基地
定義: 試驗、結果、事件、樣本空間、概率；TUs紅軟基地
事件間的關系和運算；TUs紅軟基地
基本公式、基本性質：TUs紅軟基地
古典概率的計算公式TUs紅軟基地
和事件的概率(加法定理)：P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)TUs紅軟基地
          若A與B互斥，則 P(A+B)=P(A)+P(B)TUs紅軟基地
差事件的概率：     P(A-B)=P(A)-P(AB)TUs紅軟基地
積事件的概率 (乘法定理)： P(AB)=P(B)P(A|B) TUs紅軟基地
    若A與B獨立，則 P(AB)=P(A)P(B) TUs紅軟基地
條件概率   全概率公式   貝葉斯公式TUs紅軟基地
（n重伯努利試驗）事件A恰好發(fā)生k次的概率TUs紅軟基地

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