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數(shù)學(xué)訓(xùn)練的重要性在于它可以使各種關(guān)系的表達(dá)和經(jīng)濟(jì)學(xué)的推理變得更加簡捷、嚴(yán)謹(jǐn)和清晰。 —— 阿爾弗里德.馬歇爾 一、矩陣代數(shù) 1、特征值和特征向量 令A(yù)是n×n方陣，v是非零的n維向量，a是純量（實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)），使得Av=av，則稱a是A的特征值，v是A對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量。 上式可寫成：(A-aI)v=0，如果想要v不為零，則（A-aI)的行列式必為零，即det(A-aI)=0。該式被稱為特征方程。 特征方程的解就是A的特征值，每一個(gè)特征值都確定一個(gè)特征向量。 2、矩陣的對(duì)角化 將矩陣A的特征向量組成一個(gè)矩陣V（特征向量矩陣），將A的特征值組成一個(gè)對(duì)角矩陣D，則：V-1 AV=D 3、結(jié)論 第一，如果所有的特征值都不相同，那么特征向量矩陣是非奇異的，即det(V)≠0。 第二，特征值對(duì)角矩陣的行列式與跡（主對(duì)角線上各元素之和）分別等于原始矩陣的行列式與跡。 概念檢驗(yàn) 二、微積分中的一些有用結(jié)論 1、隱函數(shù)法則 當(dāng)f(x1，x2)=0時(shí)，隱含著x2是x1的一個(gè)函數(shù)，隱函數(shù)定理用來計(jì)算x2對(duì)x1的導(dǎo)數(shù)： 2、泰勒定理 令f（x）是一元函數(shù)。泰勒定理認(rèn)為圍繞點(diǎn)x*的函數(shù)的近似式為： 概念檢驗(yàn)：計(jì)算積分 6、積分的微分法則 對(duì)定積分微分的萊布尼茲法則 一、導(dǎo)論 變量為導(dǎo)數(shù)的方程稱為微分方程。 如果只有一個(gè)自變量，稱為常微分方程（ODE）。 常微分方程的階是方程中最高導(dǎo)數(shù)的階數(shù)。 宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)使用的ODE都是對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)。 例： 若x(t)是常數(shù)，方程被稱為自控的（一個(gè)方程僅通過變量y而依賴于時(shí)間t，即t不獨(dú)立出現(xiàn)）。 若x(t)＝0，方程被稱為齊次的。 微分方程的解法 求解微分方程的目的在于找到變量的變化特征。 第一種解法：圖解法。只能用于自控方程。 第二種解法：解析法�？梢哉业骄�確的解，只能用于線性函數(shù)。 第三種解法：數(shù)值分析。使用現(xiàn)存軟件，如Matlab的子程序ODE23和ODE45。 二、一階常微分方程的解法 1、圖解法。 例1：一階線性自控常微分方程： 其中a和x是常數(shù)且大于0。 以y為橫軸，以 為縱軸。由于 是y對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，因此， 為正時(shí)，意味著y隨著時(shí)間的變化而增加； 為負(fù)則減少。 圖形為直線。 在縱軸的截距為-x，在橫軸的截距為-x/a。 在y*點(diǎn)，＝0，即y不會(huì)隨時(shí)間而變化，y*稱為y的穩(wěn)態(tài)值。 當(dāng)y>y*， <0， y隨時(shí)間而減少。反之則增加。 練習(xí)：當(dāng)a<0的動(dòng)態(tài)。 例2：非線性函數(shù)的動(dòng)態(tài)。 微分方程： 其中s、α和δ都是正常數(shù)，且α<1。 微分方程穩(wěn)定性總結(jié) 對(duì)于微分方程： 當(dāng) 時(shí)，可以找出穩(wěn)態(tài)值y*。 若 ，即函數(shù)在穩(wěn)態(tài)處的斜率為正，則y是局部不穩(wěn)定的。 若 ，即函數(shù)在穩(wěn)態(tài)處的斜率為負(fù)，則y是局部穩(wěn)定的。 2、解析解 常系數(shù)一階線性微分方程： 求解步驟： 第一：把所有涉及y及其導(dǎo)數(shù)的項(xiàng)放在方程的一邊，把其余項(xiàng)放在方程的另一邊； 第二：兩邊同乘以eat并積分； 第三：計(jì)算出y(t)。 練習(xí)：求解微分方程 例1： 解答：移項(xiàng)、在兩邊同乘以e-t并積分： 可以解出通解：y(t)=-1+bet 。要想得到特解，需要知道邊界條件。 例2：已知人口增長率為n，計(jì)算人口數(shù)量的動(dòng)態(tài)變化。 解答：L(t)=L(0)ent 三、線性常微分方程系統(tǒng) 線性常微分方程系統(tǒng)的求解 n個(gè)微分方程組成的系統(tǒng)： 其中， 、y(t)和x(t)是n維列向量，A是常系數(shù)的n×n方陣。 微分方程系統(tǒng)解法： 第一種：相位圖。簡單地提供了定性解，但只適用于2×2系統(tǒng)以及有穩(wěn)態(tài)地自控方程； 第二種：解析解。 第三種：數(shù)值法。用時(shí)間消去法。 1、相位圖 （1）對(duì)角系統(tǒng)： 以y1為橫軸，以y2為縱軸，平面中的每一點(diǎn)都代表了系統(tǒng)（y1，y2）在任一給定時(shí)刻的位置。 相位圖的目標(biāo)：把由兩個(gè)微分方程所隱含的動(dòng)態(tài)轉(zhuǎn)換為一個(gè)描述了經(jīng)濟(jì)隨時(shí)間的定性行為的箭頭系統(tǒng)。 情形1：a11>0且a22>0：系統(tǒng)不穩(wěn)定。 情形2：a11<0且a22<0：系統(tǒng)穩(wěn)定。 情形3： a11<0且a22>0：鞍點(diǎn)路徑穩(wěn)定。 （2）非對(duì)角系統(tǒng) 初始條件為y1(0)=1和終端條件 的軌跡是直線y2=0.06y1+1.4 在直線的下方， y2<0.06y1+1.4， ，即在該區(qū)域y1遞增；同理，在直線的上方區(qū)域y1遞減。 的軌跡是直線y1=10 在直線的左邊， ， y2遞減；右邊遞增。 具有鞍點(diǎn)路徑穩(wěn)定性的非對(duì)角系統(tǒng)的相位圖 非對(duì)角系統(tǒng)穩(wěn)定性：結(jié)論 1、系數(shù)矩陣的兩個(gè)特征值是正實(shí)數(shù)，系統(tǒng)不穩(wěn)定。 2、兩個(gè)特征值是負(fù)實(shí)數(shù)，系統(tǒng)穩(wěn)定。 3、兩個(gè)特征值是實(shí)數(shù)但異號(hào)，系統(tǒng)是鞍點(diǎn)路徑穩(wěn)定。 4、兩個(gè)特征值是有負(fù)實(shí)部的復(fù)數(shù)，系統(tǒng)振蕩收斂。 5、兩個(gè)特征值是有正實(shí)部的復(fù)數(shù)，系統(tǒng)振蕩且不收斂。 6、兩個(gè)特征值是有零實(shí)部的復(fù)數(shù)，系統(tǒng)軌跡是環(huán)繞穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)的橢圓。 7、兩個(gè)特征值相等，解為y(t)=(b1+b2t)eat （3）非線性系統(tǒng) 解答： 的軌跡為：c=k0.3; 軌跡為k=10。 將k和c的動(dòng)態(tài)結(jié)合到一起，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)是兩條軌跡的交點(diǎn)。 系統(tǒng)是鞍點(diǎn)路徑穩(wěn)定的。 解題思路 一、無約束極大值 一元函數(shù)在閉區(qū)間［a，b］中極大值條件： 在極大值處，一階導(dǎo)數(shù)為零，二階導(dǎo)數(shù)小于零。 多元函數(shù)極大值條件： 必要條件是在該點(diǎn)處所有偏導(dǎo)數(shù)等于零，充分條件是函數(shù)嚴(yán)格凹（海賽矩陣是負(fù)定的）。 二、古典非線性規(guī)劃 2、不等式約束：庫恩－塔克條件 優(yōu)化問題：max［ u(x1，…，xn) ］ s.t. g1(x1，…，xn)≤a1 ------- gm(x1，…，xn)≤am 庫恩－塔克條件： Du(x)=∑μiDgi(x) gi(x)≤ai，μi≥0 μi［a-gi(x)］=0 該條件被成為互補(bǔ)松弛性條件 方法1：貝爾曼的動(dòng)態(tài)規(guī)劃 方法2：龐特里亞金的極大值原理 一、典型問題 二、動(dòng)態(tài)最優(yōu)化求解步驟01z紅軟基地

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